Me parece que se entiende por echar como "hacer algo", en este caso "beber", y por copichuela como despectivo de "copicha", que sería un diminutivo de "copa" (en este caso, de bebida alcohólica).
"-Claro, hijo, estarás muerto de hambre. Te haría algo de sopa, pero dentro de nada me voy al bingo y, bueno, suelo quedar con Maisie y Daphne en el Persevere para echar una copichuela antes... (Irvine Welsh)"